Колебания. Гармонические колебания

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила , скорость и ускорение , тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Изменения какой- либо величины описывают с помощью законов синуса или косинуса, то такие колебания называют гармоническими. Рассмотрим контур, из конденсатора (который перед включением в цепь зарядили) и катушки индуктивности (рис.1).

Рисунок 1.

Уравнение гармонических колебаний можно записать следующим образом:

$q=q_0cos({\omega }_0t+{\alpha }_0)$ (1)

где $t$-время; $q$ заряд, $q_0$-- максимальное отклонение заряда от своего среднего (нулевого) значения в ходе изменений; ${\omega }_0t+{\alpha }_0$- фаза колебаний; ${\alpha }_0$- начальная фаза; ${\omega }_0$- циклическая частота. За период фаза меняется на $2\pi $.

Уравнение вида:

уравнение гармонических колебаний в дифференциальном виде для колебательного контура, который не будет содержать активного сопротивления.

Любой вид периодических колебаний можно точности представить как сумму гармонических колебаний, так называемого гармонического ряда.

Для периода колебаний цепи, которая состоит из катушки и конденсатора мы получим формулу Томсона:

Если мы продифференцируем выражение (1) по времени, то можем получить формулу фунци $I(t)$:

Напряжение на конденсаторе, можно найти как:

Из формул (5) и (6) следует, что сила тока опережает напряжение на конденсаторе на $\frac{\pi }{2}.$

Гармонические колебания можно представлять как в виде уравнений, функций так и векторными диаграммами.

Уравнение (1) представляет свободные незатухающие колебания.

Уравнение затухающих колебаний

Изменение заряда ($q$) на обкладках конденсатора в контуре, при учете сопротивления (рис.2) будет описываться дифференциальным уравнением вида:

Рисунок 2.

Если сопротивление, которое входит в состав контура $R \

где $\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$ -- циклическая частота колебаний. $\beta =\frac{R}{2L}-$коэффициент затухания. Амплитуда затухающих колебаний выражается как:

В том случае, если при $t=0$ заряд на конденсаторе равен $q=q_0$, тока в цепи нет, то для $A_0$ можно записать:

Фаза колебаний в начальный момент времени (${\alpha }_0$) равна:

При $R >2\sqrt{\frac{L}{C}}$ изменение заряда не является колебаниями, разряд конденсатора называют апериодическим.

Пример 1

Задание: Максимальное значение заряда равно $q_0=10\ Кл$. Он изменяется гармонически с периодом $T= 5 c$. Определите максимально возможную силу тока.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем:

Для нахождения силы тока выражение (1.1) необходимо продифференцировать по времени:

где максимальным (амплитудным значением) силы тока является выражение:

Из условий задачи нам известно амплитудное значение заряда ($q_0=10\ Кл$). Следует найти собственную частоту колебаний. Ее выразим как:

\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(1.4\right).\]

В таком случае искомая величина будет найдена при помощи уравнений (1.3) и (1.2) как:

Так как все величины в условиях задачи представлены в системе СИ, проведем вычисления:

Ответ: $I_0=12,56\ А.$

Пример 2

Задание: Каков период колебаний в контуре, который содержит катушку индуктивности $L=1$Гн и конденсатор, если сила тока в контуре изменяется по закону: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t\ \left(A\right)?$ Какова емкость конденсатора?

Решение:

Из уравнения колебаний силы тока, которое приведено в условиях задачи:

мы видим, что ${\omega }_0=20\pi $, следовательно, мы можем вычислить период Колебаний по формуле:

\ \

По формуле Томсона для контура, который содержит катушку индуктивности и конденсатор, мы имеем:

Вычислим емкость:

Ответ: $T=0,1$ c, $C=2,5\cdot {10}^{-4}Ф.$

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 1) гармоническое колебательное движение.

Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:

где х - смешение - величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А - амплитуда колебаний - максимальное смещение тела из положения равновесия; Т - период колебаний - время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; - начальная фаза;

Фаза колебании в момент времени t. Фаза колебаний - это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.

Если в начальный момент времени колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то , а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

Если колеблющаяся точка при находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

Величину V, обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:

Если за время t тело совершает N полных колебаний, то

Величину , показывающую, сколько колебаний совершает тело за с, называют циклической (круговой) частотой .

Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:

Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).

На рисунке 2, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая .

Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:

где - амплитуда проекции скорости на ось х.

Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на (рис. 2, б).

Для выяснения зависимости ускорения найдем производную по времени от проекции скорости:

где - амплитуда проекции ускорения на ось х.

При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 2, в).

Колебаниями называют такие процессы, при которых система с большей или меньшей периодичностью многократно проходит через положение равновесия.

Классификация колебаний:

а) по природе (механические, электромагнитные, колебания концентрации, температуры и т.п.);

б) по форме (простые = гармонические; сложные, являющиеся суммой простых гармонических колебаний);

в) по степени периодичности = периодические (характеристики системы повторяются через строго определенный промежуток времени (период)) и апериодические;

г) по отношению ко времени (незатухающие = с постоянной амплитудой; затухающие = с уменьшающейся амплитудой);

г) по энергетике – свободные (однократное поступление энергии в систему извне = однократное внешнее воздействие); вынужденные (многократное (периодическое) поступление энергии в систему извне = периодическое внешнее воздействие); автоколебания (незатухающие колебания, возникающие за счет имеющейся у системы способности регулировать поступление энергии от постоянного источника).

Условия возникновения колебаний.

а) Наличие колебательной системы (маятник на подвесе, пружинный маятник, колебательный контур и т.п.);

б) Наличие внешнего источника энергии, который способен хотя бы 1 раз вывести систему из положения равновесия;

в) Возникновение в системе квазиупругой возвращающей силы (т.е. силы, пропорциональной смещению);

г) Наличие в системе инерции (инерциального элемента).

В качестве наглядного примера рассмотрим движение математического маятника. Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити
. При отклонении маятника от положения равновесия на некоторый уголα появляется касательная составляющая силы тяжести F =- mg sinα . Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника. Она является возвращающей силой. При небольших углах α (порядка 15-20 о) эта сила пропорциональна смещению маятника, т.е. является квазиупругой, а колебания маятника являются гармоническими.

При отклонении маятника он поднимается на определенную высоту, т.е. ему сообщается определенный запас потенциальной энергии (Е пот = mgh ). При движении маятника к положению равновесия происходит переход потенциальной энергии в кинетическую. В момент, когда маятник проходит положение равновесия, потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. За счет наличия массы m (масса – физическая величина, определяющая инерционные и гравитационные свойства материи) маятник проходит положение равновесия и отклоняется в противоположном направлении. При отсутствии трения в системе колебания маятника будут продолжаться бесконечно долго.

Уравнение гармонического колебания имеет вид:

x(t) = x m cos (ω 0 t + φ 0 ),

где х – смещение тела от положения равновесия;

x m (А ) – амплитуда колебаний, то есть модуль максимального смещения,

ω 0 – циклическая (или круговая) частотаколебаний,

t – время.

Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ω 0 t + φ 0 называется фазой гармонического колебания. Фаза определяет смещение в данный момент времени t . Фазу выражают в угловых единицах (радианах).

При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой.

Промежуток времени, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний T.

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:
. Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за в единицу времени. Единица измерения частоты – герц (Гц) – одноколебание в секунду.

Частота колебаний ν связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
.

То есть круговая частота - это число полных колебаний, совершающихся за 2π единиц времени.

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости х отt и методом векторных диаграмм.

Метод векторных диаграмм позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды А расположен под углом φ к оси х , то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ ) . Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью ω 0 , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A , причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону: x (t ) = А cos (ω 0 t + φ) . Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν .

«Физика - 11 класс»

Ускорение - вторая производная координаты по времени.

Мгновенная скорость точки - это производная координаты точки по времени.
Ускорение точки - это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени.
Поэтому уравнение движения маятника можно записать так:

где х" - вторая производная координаты по времени.

При свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Гармонические колебания

Из математики: вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком, и никакие другие функции таким свойством не обладают.
Поэтому:
Координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями .

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями, а точнее энергией, сообщаемой телу.

График зависимости координаты тела от времени представляет собой косинусоиду.

х = x m cos ω 0 t

Тогда уравнение движения, описывающее свободные колебания маятника:

Период и частота гармонических колебаний.

При колебаниях движения тела периодически повторяются.
Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний .

Частота колебаний - это число колебаний в единицу времени.
Если одно колебание совершается за время Т то число колебаний за секунду

В Международной системе единиц (СИ) единица частоты называется герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца.

Число колебаний за 2π с равно:

Величина ω 0 - это циклическая (или круговая) частота колебаний.
Через промежуток времени, равный одному периоду, колебания повторяются.

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.
Часто для краткости циклическую частоту называют просто частотой.

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы.

1. для пружинного маятника

Собственная частота колебаний пружинного маятника равна:

Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m.
Жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела, а чем тело массивнее, тем медленнее оно изменяет скорость под влиянием силы.

Период колебаний равен:

Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний.

2. для нитяного маятника

Собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:

Период же этих колебаний равен

Период колебаний нитяного маятника при малых углах отклонения не зависит от амплитуды колебаний.

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит.

Чем меньше g, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут за сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.